Question

【题目】如图，点是平行四边形所在平面外一点， 平面， ,， .

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设中点， 交于，连， ，可先证明平面，再证明四边形是平行四边形，则，从而平面，进而利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连交于，连， ．

在菱形中， ，

∵平面， 平面，

∴，

又， ， 平面，

∴平面，

∵， 分别是， 的中点，

∴， ，

又， ，

∴， ，

∴四边形是平行四边形，则，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面，则， ， 两两垂直，以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则， ， ， ，

， ， ，

设是平面的一个法向量，则即

取，得， ，∴，

设是平面的一个法向量，

同理得， ．

∴，

∴二面角的余弦值为．