Question

【题目】已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．

写出椭圆的标准方程；

当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；

设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

由是边长为4的等边三角形得，进一步求得，则椭圆方程可求；

由直线的一个方向向量是，可得直线所在直线的斜率，得到直线的方程，由椭圆方程联立，求得P点坐标，得到的中点坐标，再求出，可得以为直径的圆的半径，则以为直径的圆的标准方程可求；

方法一、设，求出直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，同理求得直线的方程，联立两直线方程求得R的横坐标，再结合在椭圆上可得与的关系，由求解；

方法二、设直线，的斜率为k，得直线的方程为结合，可得直线的方程为，把与椭圆方程联立可得，再由在椭圆上，得到，从而得到，得结合，可得直线的方程为与线的方程联立求得再由求解．

解：如图，由的边长为4的等边三角形，得，且．

椭圆的标准方程为；

解：直线的一个方向向量是，

直线所在直线的斜率，则直线的方程为，

联立，得，

解得，．

则的中点坐标为，．

则以为直径的圆的半径．

以为直径的圆的标准方程为；

证明：方法一、设，

直线的斜率为，由，得直线的斜率为．

于是直线的方程为：．

同理，的方程为：．

联立两直线方程，消去y，得．

在椭圆上，

，从而．

，

．

方法二、设直线，的斜率为k，，则直线的方程为．

由，直线的方程为，

将代入，得，

是椭圆上异于点，的点，，从而．

在椭圆上，

，从而．

，得．

，直线的方程为．

联立，解得，即．

．