Question

如图，在三棱锥中，平面，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，
求证：∥面；
（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）因为AC和PB是异面直线，所以可以采用线面垂直得线线垂直的方法证，即先平面。要证平面需证面内的两条相交线PA和AB都和AC垂直。为已知条件证PA和AC垂直依据是线面垂直得线线垂直。（Ⅱ）（法一空间向量法）由题意可以点A为坐标原点，以AC,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。分别设出AB,AC,AP的三边长，故可得点A,点B点C点P的坐标，因为点D为PA中点，即可得到点D的坐标，根据得到点G的坐标，即可求出坐标和平面PBC的一个法向量的坐标，用向量数量积公式可求得，即，因为平面，所以∥平面．（法二一般方法）由可知，G为三角形重心。设AB中点为E，所以G在OE上，根据中位线可得∥，连结并延长交于，连。因为∥，且E为AB中点，所以G为AF中点，所以∥，内线外线平行所以得线面平行。问题得证。（Ⅲ）采用空间向量法，由（Ⅰ）可知是面PAB的一个法向量。先求两个法向量所成的角。两个法向量所成的角与二面角相等或互补。由观察可知此二面角为锐二面角，所以余弦值为正值。
试题解析：证明：（Ⅰ）因为平面，平面，
所以．
又因为，且，
所以平面．
又因为平面，
所以．                                       4分
（Ⅱ）
解法1:因为平面，所以，．又因为，
所以建立如图所示的空间直角坐标系．

设，，，
则，，，
，．
又因为，
所以．
于是，
，．
设平面的一个法向量
，则有
即 
不妨设，则有，所以．
因为，
所以．又因为平面，
所以∥平面．                                          9分
解法2：

取中点，连，则.
由已知可得,
则点在上.连结并延长交于，连.
因为分别为的中点，
所以∥,即为的中点.
又因为为线段的中点，
所以∥.
又平面,平面,
所以∥平面．       9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量．
又因为面，所以面的一个法向量是．
又，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．                        14分