Question

设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD=

2

．（1）求三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD；（2）异面直线AB和CD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）因为A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，所以OA是三棱锥的高，在直角三角形AOC中可计算AO，再计算底面BCD的面积，利用锥体的体积计算公式即可得所求体积；（2）取BC中点F，AC中点E，利用三角形中位线定理证明∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角，再在△EFO中分别计算三边的长，利用解直角三角形知识即可求得此角

解答：解：（1）∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O
∴OA是三棱锥的高
∵BC=1，CD=

2

．
∴OC=OB=OD=

3

2

，OA=

AC2-OC2

=

1

2

∴VA-BCD=

1

3

S△BCD•OA=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

1

2

=

2

12

（2）如图，取BC中点F，AC中点E，连接EF，OE，OF
∵EF∥AB，OF∥CD
∴∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角
在△EFO中，EF=

AB

2

=

AO2+OB2

2

=

1 4 +  3 4

2

=

1

2

OF=

CD

2

=

2

2

，OE=

AC

2

=

AO2+OC2

2

=

1 4 + 3 4

2

=

1

2

∴∠FEO=90°，∠EFO=45°
∴异面直线AB和CD所成的角的大小为45°

点评：本题考查了空间的线面关系，三棱锥的体积计算公式，异面直线所成的角的作法、证法、算法，直角三角形中的边角计算