Question

已知椭圆：的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设椭圆的上、下顶点分别为，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交轴于点，若直线与过点的圆相切，切点为．证明：线段的长为定值．

Answer 1

（1）；（2）定值为2，证明见解析．

解析试题分析：（1）根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆的方程；；（2）设，然后用此点坐标分别表示出、的方程，然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化为的关系，进而确定其为定值．
试题解析：（1）由题意可得，得  ①．
又，即   ②，
解①②，得，
∴椭圆的方程为．
（2）由（1）知，设，则
直线的方程为，令，得．
直线的方程为，令，得．
设，则
＝，
，
∴＝．
∵，即，
∴＝，∴，即线段的长为定值2．
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与圆的位置关系；3、直线与椭圆的位置关系；4、定值问题．