Question

已知O为坐标原点，

OM

=（-1，1），

NM

=（-5，5）集合A={

OR

||

RN

|=2}，

OP

，

OQ

∈A且

MP

=λ

MQ

（λ∈r，且λ≠0）则

MP

•

MQ

=

46

．

Answer 1

分析：根据向量的线性运算，可得点N坐标为（4，-4）且R点的轨迹是以N为圆心，半径为2的圆．进而得到P、Q在圆N上，且M、P、Q三点共线，在Rt△MNS中利用勾股定理，并结合圆的切割线定理即可算出

MP

•

MQ

的值．

解答：解：∵

OM

=（-1，1），

NM

=（-5，5）
∴向量

ON

=

OM

-

NM

=（4，-4），即点N坐标为（4，-4）
∵集合A={

OR

||

RN

|=2}
∴点R到N的距离等于2（常数），故R点的轨迹是以N为圆心，半径为2的圆
∵

OP

，

OQ

∈A且

MP

=λ

MQ

（λ∈r，且λ≠0）
∴P、Q在圆N上，且M、P、Q三点共线
设过M的直线与圆N相切于点S，连接NS、NM，则
Rt△MNS中，MN=5

2

，NS=2，可得MS²=MN²-NS²=50-4=46
由切割线定理，可得

MP

•

MQ

=

MS

²=46
故答案为：46

点评：本题以向量为载体，求动点的轨迹方程并求数量积

MP

•

MQ

的值．着重考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．