Question

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明；
（3）要使方程f（x）=x+b在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，利用当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

，函数为奇函数，可求函数的解析式；
（2）利用导数，判断导数小于0，即可求得函数的单调性；
（3）将b表示为x的函数，利用单调性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得实数b的取值范围

解答：解：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]
∵当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

∴f(-x)=

2-x

4-x+1

∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

∵f（0）=0
∴函数f（x）在[-1，1]上的解析式为f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1] 0，x=0 - 2-x 4-x+1 ，x∈[-1，0)

；
（2）f（x）在（0，1]上单调递减，证明如下：
∵当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

，
∴f′(x)=

2xln2(1-4x)

(4x+1)2

∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1]上单调递减；
（3）记g（x）=f（x）-x，则g（x）为（0，1]上的单调递减函数．
∴g（x）∈[g（1），g（0））⇒g（x）∈[-

3

5

，

1

2

）．
∵g（x）在[-1，1]上为奇函数，∴当x∈[-1，0）时g（x）∈（-

1

2

，

3

5

]．
又g（0）=0，
∴g（x）∈[-

3

5

，

3

5

]，即b∈[-

3

5

，

3

5

]．

点评：本题考查单调性与奇偶性，考查函数的解析式，考查单调性的证明，考查函数的值域，属于中档题．