Question

（本小题满分13分）

设函数

（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

 

Answer 1

【答案】

（I）分别在区间单调增加，在区间单调减少．

（II）当时，，当时，，所以无极值．

若，，，也无极值．

的极值之和为

．

【解析】解：（Ⅰ），

依题意有，故．从而．

的定义域为，当时，；

当时，；   当时，．

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．

（Ⅱ）的定义域为，．

方程的判别式．

（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．

（ⅱ）若，则或．

若，，．

当时，，当时，，所以无极值．

若，，，也无极值．

（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．

当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．

的极值之和为

．