Question

已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）令C_n=S_ncos（a_nπ）（n∈N⁺），求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由已知条件a₂b₂=12，S₃+b₂=20，可得关于d、q的方程组，求解可得d、q的值，结合等比等差数列的通项公式，可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可得C_n的表达式，即cn=Sncos3nπ=

Sn= 3 2 n2+ 3 2 n n是偶 -Sn=- 3 2 n2- 3 2 n n是奇

，分n为奇数与偶数两种情况讨论，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12，①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，
变形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d²=12，
3d²-2d-21=0，
（3d+7）（d-3）=0，
又由{a_n}是单调递增的等差数列，有d＞0．
则d=3，
q=11-3d=2，
a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ） cn=Sncos3nπ=

Sn= 3 2 n2+ 3 2 n n是偶 -Sn=- 3 2 n2- 3 2 n n是奇

…（9分）
当n是偶数，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-…-S_n-1+S_n
=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=

3n(n+2)

4

…（10分）
当n是奇数，Tn=Tn-1-Sn=

3(n-1)(n+1)

4

-

3

2

n2-

3

2

n=-

3

4

(n+1)2
综上可得Tn=

3n(n+2) 4 n是偶 - 3 4 (n+1)2 n是奇

…（13分）

点评：本题综合考查等比、等差数列，涉及数列的求和；解（Ⅱ）题的关键在于分析发现T_n与C_n的关系，转化来求出答案，注意要分n为奇数与偶数2种情况进行讨论．