Question

（2012•绵阳三模）如图，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点
（I）当点E为AB的中点时，求证；BD₁∥平面A₁DE；
（II）求点A₁到平面BDD₁的距离；
（III）当

AE

=

1

2

EB

时，求二面角D₁-EC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）由中位线定理可得EF∥BD₁，再由线面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（II）解法一：利用VA-BDD1=VB-A1DD1，可求A₁到面BDD₁的距离；解法二：建立空间直角坐标系，求得

A1B

=（0，2，-1），面BDD₁的一个法向量为

n1

=(-2，1，0)，从而可求点A₁到面BDD₁的距离；
（III）连接EC，过D作DH⊥EC于H，连接D₁H，证明∠DHD₁为D₁-EC-D的平面角，即可求二面角D₁-EC-D的大小；
解法二：确定面D₁EC的一个法向量

n2

=(

2

3

，

1

2

，1)，面DEC的一个法向量是

DD1

=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（I）证明：连接AD₁交A₁D于F，则F为中点，连接EF，如图．
∵E为中点，∴EF∥BD₁．
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE．…（3分）
（II）解法一：在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=

5

，
∴S△BDD1=

1

2

×BD×DD1=

5

2

，S△A1DD1=

1

2

×A1D1×DD1=

1

2

，
设A₁到面BDD₁的距离为d，则由VA-BDD1=VB-A1DD1有

1

3

×

5

2

d=

1

3

×

1

2

×2，解得d=

2 5

5

，
即A₁到面BDD₁的距离为

2 5

5

．…（8分）
解法二：由面ABCD⊥面ADD₁A，且四边形AA₁D₁D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．
于是以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0），
∴

DB

=（1，2，0），

DD1

=（0，0，1），

A1B

=（0，2，-1）．
设面BDD₁的一个法向量为

n1

=(x1，1，z1)，
则

n1 • DB =0 n1 DD1 =0

，即

x1+2=0 z1=0

，∴

n1

=(-2，1，0)．
∴点A₁到面BDD₁的距离d=

| A1B • n1 |

| n1 |

=

2 5

5

．   …（8分）
（III）解法一：连接EC．
由

AE

=

1

2

AB

，有AE=

2

3

，EB=

4

3

，
过D作DH⊥EC于H，连接D₁H，由已知面AA₁D₁D⊥面ABCD且DD₁⊥AD，∴DD₁⊥面ABCD．
由三垂线定理知：D₁H⊥EC，∴∠DHD₁为D₁-EC-D的平面角．
Rt△EBC中，由EB=

4

3

，BC=1，得EC=

5

3

．
又DH•EC=DC•BC，代入解得DH=

6

5

，
∴在Rt△DHD₁中，tan∠DHD₁=

5

6

．
∴∠DHD₁=arctan

5

6

，即二面角D₁-EC-D的大小为arctan

5

6

．…（12分）
解法二：由（II）及题意知：E（1，

2

3

，0），C（0，2，0），

D1E

=（1，

2

3

，-1），

EC

=（-1，

4

3

，0）．
设面D₁EC的一个法向量为

n2

=(x2，y2，1)，
则

n2 • D1E =0 n2 • EC =0

，即

x2+ 2 3 y2-1=0 -x2+ 4 3 y2=0

可得

n2

=(

2

3

，

1

2

，1)．
又面DEC的一个法向量是

DD1

=（0，0，1），
设D₁-EC-D的大小为θ，则cosθ=

n2 • DD1

| n2 || DD1 |

=

6 61

61

，得θ=arccos

6 61

61

．
即D₁-EC-D的大小为arccos

6 61

61

．（12分）

点评：本题线面平行，点到面的距离，考查面面角，解题时，两法并举，注意体会．