Question

棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O为面ABCD的中心．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面体OBC₁D₁的体积；
（3）线段AC上是否存在P点（不与A点重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，请确定P点位置，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方体的性质可得AB⊥B₁C，由正方形的性质可得B₁C⊥BC₁．再利用线面垂直的判定可得B₁C⊥AC₁，同理可得AC₁⊥CD₁，利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2））由CC₁∥平面BB₁D₁D，可得点C₁到平面BOD₁的距离与点C到此平面的距离相等，利用“等体积变形”即可得到∴V四面体OBC1D1=VC1-BOD1=VC-BOD1，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
（3）利用面面平行的性质即可得出结论．

解答：（1）证明：由正方体可得AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C．
由正方形BCC₁B₁可得B₁C⊥BC₁．
而AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁，
∴B₁C⊥AC₁．
同理可证，CD₁⊥AC₁，
又CB₁∩CD₁=C，∴AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）∵CC₁∥平面BB₁D₁D，∴点C₁到平面BOD₁的距离与点C到此平面的距离相等，
∴V四面体OBC1D1=VC1-BOD1=VC-BOD1=

1

3

S△BOD1×OC=

1

3

×

1

2

×

2 a

2

×a×

2 a

2

=

a3

12

．
（3）由正方体可得平面ABB₁A₁∥平面CC₁D₁D，故过点A₁与平面CC₁D₁D平行的直线只能在平面ABB₁A₁内，
因此在线段AC上除了点A外不存在其它点P，使得A₁P∥面CC₁D₁D．

点评：熟练掌握方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的性质定理、“等体积变形”、三棱锥的体积计算公式、面面平行的性质定理是解题的结论．