Question

【题目】已知函数的图象经过点（1，3），并且g（x）=xf（x）是偶函数．
（1）求实数a、b的值；
（2）用定义证明：函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函数g(x)=x是偶函数，则g（﹣x）=g（x）．
∴恒成立，即x﹣b=x+b恒成立，
∴b=0．
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，即1+a=3，
∴a=2．
（2）由（1）知：g（x）=xf（x）=2x2+1．
设x2＞x1＞1，
则-1=2（x2﹣x1）（x2+x1）．
∵x2＞x1＞1，∴（x2﹣x1）（x2+x1）＞0
∴g（x2）＞g（x1），
∴函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
【解析】（1）根据g（﹣x）=g（x）恒成立得出b的值，将（1，3）代入f（x）解出a；
（2）设x2＞x1＞1，化简g（x2）﹣g（x1）并判断符号得出g（x2）与g（x1）的大小关系．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．