Question

（本题满分14分）

已知点M在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．

（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；

（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）解：由题意可知，点M的坐标为(c，c)，∴，          …………2分

     即，即，即，即，

即，即e⁴－3e²＋1＝0，∴，……5分

∴e＝，又e∈(0，1)，∴e＝。            ………………………………7分

（2）解：把x＝c代入椭圆方程＋＝1，得y_M＝±。

因为△ABM是边长为2的正三角形，

所以圆M的半径r＝2．M到y轴的距离d＝．

∴r＝，d＝c，

即c＝，＝2．   …………………………………………………………………11分

又因为a²－b²＝c²．

所以a²－b²＝3．

代入得a²－2a－3＝0，a＝3，a＝－1(舍去)．

b²＝2a＝6．

所以所求的椭圆方程为＋＝1．…………………………………………………14分