Question

【题目】如图1，在长方形中，为的中点，为线段上一动点．现将沿折起，形成四棱锥.

（1）若与重合，且(如图2).证明：平面；

（2）若不与重合，且平面平面 (如图3)，设，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）由AD⊥BD，AD⊥DE，BD∩DE＝D，可得AD⊥平面BDE，可得AD⊥BE．由E与O重合，可得△ADE与△BCE都为等腰直角三角形，可得BE⊥AE．即可证明结论．

（2）过E点作EH⊥AB，垂足为H，并连接DH，证明EH⊥DH，设CE＝x，则DE＝4﹣x，在Rt△DHB中列出t关于x的函数关系式，利用二次函数求最值即可

（1）由与重合，则有, 因为AD⊥BD，,所以平面，,

,所以平面.

（2）如图过E点作EH⊥AB，垂足为H，并连接DH，

又∵平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，EH平面ABC，

∴EH⊥平面ABD，∵DH平面ABD，∴EH⊥DH，

设CE＝x，则DE＝4﹣x，

∵BC⊥AB，∴BC∥EH，又CE∥AB，∴BH＝x，EH＝2，

∴在Rt△DHE中，DH，

∴在Rt△DHB中，t，

∵x∈[0，2），∴t∈．