Question

（2006•浦东新区一模）已知函数f(x)=x+log3

x

4-x

．
（1）求f（x）+f（4-x）的值；
（2）猜测函数f（x）的图象具备怎样的对称性，并给出证明；
（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．

Answer 1

分析：（1）f(x)+f(4-x)=x+log3

x

4-x

+4-x+log3

4-x

4-(4-x)

=4+log3

x

4-x

+log3

4-x

x

=4．
（2）关于点P（2，2）对称．证明：设Q（x，y）为函数f(x)=x+log3

x

4-x

图象上的任一点，若Q点关于点P的对称点为Q₁（x₁，y₁），则

x+x1=4 y+y1=4

⇒

x1=4-x y1=4-y

．由此能够证明函数y=f（x）的图象关于点P（2，2）对称．
（3）f(1)=1+log3

1

3

=0，f（3）=3+log₃3=4．由对称性可求出函数y=f（x）的图象与直线x=1，x=3
及x轴所围成封闭图形的面积S．

解答：解：（1）f(x)+f(4-x)=x+log3

x

4-x

+4-x+log3

4-x

4-(4-x)

=4+log3

x

4-x

+log3

4-x

x

=4 （4分）
（2）关于点P（2，2）对称  （6分）
证明：设Q（x，y）为函数f(x)=x+log3

x

4-x

图象上的任一点，
若Q点关于点P的对称点为Q₁（x₁，y₁），
则

x+x1=4 y+y1=4

⇒

x1=4-x y1=4-y

（8分）f(x1)=x1+log3

x1

4-x1

=4-x+log3

4-x

x

=4-x-log3

x

4-x

=4-y=y₁（10分）
∴函数y=f（x）的图象关于点P（2，2）对称  （11分）
（3）（可以作图示意）f(1)=1+log3

1

3

=0，
f（3）=3+log₃3=4（13分）
由对称性可知，
函数y=f（x）的图象与直线x=1，x=3
及x轴所围成封闭图形的面积
S=

1

2

×(3-1)×4=4（16分）．

点评：本题考查对数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．