Question

（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，

d

=(1，

2

)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：

DA

•

DB

为定值；
（3）对于双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y²=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)及它的顶点．

Answer 1

分析：（1）设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由顶点坐标、渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值即得．
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k（x+3），由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0，再由方程的根与系数关系及

DA

•

DB

为定值；当直线l的斜率不存在时，当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），代入可求；
（3）对于过定点问题，可先假设存在，即假设直线MN过定点，再利用设直线MN的方程为：x=my+t，联立方程组，利用垂直关系求直线MN过定点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．最后运用类比推理写出类似结论．

解答：解：（1）设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则a=1，
又

b

a

=

2

，得b=

2

，所以，双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1．
（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），

DA

=(-4，4)，

DB

=(-4，-4)，得

DA

•

DB

=0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由

y=k(x+3) 2x2-y2=2

得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6k2

2-k2

，x1•x2=

-9k2-2

2-k2

，
故

DA

•

DB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+3)(x2+3)
=(k2+1)x1x2+(3k2-1)(x1+x2)+9k2+1．
=(k2+1)

-9k2-2

2-k2

+(3k2-1)

6k2

2-k2

+9k²+1=0．综上，

DA

•

DB

=0为定值．
（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．
设直线MN的方程为：x=my+t，
由

x=my+t b2x2-a2y2=a2b2

，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

-2b2mt

b2m2-a2

，y1y2=

b2(t2-a2)

b2m2-a2

，
由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0，
即(1+m2)y1y2+m(t-a)(y1+y2)+(t-a)2=0，(1+m2)

b2(t2-a2)

b2m2-a2

-m(t-a)

2b2mt

b2m2-a2

+(t-a)2=0，
化简得，t=

a(a2+b2)

a2-b2

或t=a（舍），
所以，直线MN过定点（

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．
情形一：在双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（-

a(a2+b2)

a2-b2

，0）．
情形二：在抛物线y²=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）
情形三：（1）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）；
（2）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（

a(b2-a2)

a2+b2

，0）；
（3）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，

b(b2-a2)

a2+b2

）；        
（4）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，

b(a2-b2)

a2+b2

）．

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．