Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常数，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e²]上有两解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln

n

n-1

＞

1

n

（n＞1，且n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）进行求导，因为x=2是函数f（x）的极值点，可得f′（2）=0，求得a的值，求出切点根据导数与斜率的关系求出切线方程；
（Ⅱ）把a=1代入函数f（x）=

a

x

+lnx-1，对其进行求导，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e²]上有两解，将问题转化为求f（x）的值域，利用导数研究函数f（x）的最值问题；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=1时，由（2）知f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，可以令x=

n

n-1

，得到一个不等式，利用此不等式进行放缩证明；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

x-a

x2

，x=2是函数f（x）的极值点，
∴f′（2）=0，可得

2-a

4

=0，得a=2，
∴f′（1）=1-a=-1，
点（1，f（1））即（1，2），
∴y-2=（-1）（x-1），即x+y-1=0
∴切线方程为x+y-1=0；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′（x）=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e²]，
当x∈[

1

e

，1）时，f′（x）＜0；
x∈（1，e²]时，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e²]上唯一的极小值点，
∴[f（x）_min]=f（1）=0；
f（

1

e

）=e-2，f（e²）=

1

e2

+lne²-1=

1

e2

+1，
f（

1

e

）-f（e²）=e-2-

1

e2

-1＜0，
综上，所以实数m的取值范围为{m|0≤m≤e-2}；
（Ⅲ）若a=1时，由（2）知f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

（n＞1，且n∈N^*）；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间及函数的最值问题，此题考查的知识点比较全面，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，此题是一道中档题；