Question

(22)如图，以椭圆(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c，0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

(Ⅰ)证明c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明·=b²．

Answer 1

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.

(Ⅰ)证明：由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，c²=ab.

解：在Rt△OFA中，

FA=

于是，直线OA的斜率k_0A=.设直线BF的斜率为k，则

k=

这时，直线BF的方程为y=（x－c），令x=0，则

y=

所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.

(Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF的方程为y=kx+a，且

k²=          ②

 

由已知，设P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）,则它们的坐标满足方程组

由方程组③消去y，并整理得

（b²+a²k²）x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0.     ④

由①、②和④，

 

x₁x₂=

由方程组③消去x，并整理得

 

（b²+a²k²）y²-2ab²y+a²b²-a²b²k²=0.  ⑤

由式②和⑤，

 

y₁y₂=

综上，得到

·.

 

注意到a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²,得

 

·