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    【题目】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

    【答案】将水池的底面设计成边长为20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元

    【解析】

    设出底面的长为,宽为,根据总容积求得与的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.

    设底面的长为m,宽为m,水池总造价为元,

    容积为1,可得,

    因此,

    根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有

    ,

    由基本不等式及不等式性质,可得

    ,

    即,

    当且仅当时,等号成立.

    所以,将水池的底面设计成边长为20m的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元.

    练习册系列答案
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    【题目】如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，.

    （1）证明：平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值.

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    【题目】如图：四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥平面ABCD,F是PC中点。

    （Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD;

    （Ⅱ）求证：BF∥平面PAD。

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    【题目】科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：

    （年龄/岁）

    26

    27

    39

    41

    49

    53

    56

    58

    60

    61

    （脂肪含量/%）

    14.5

    17.8

    21.2

    25.9

    26.3

    29.6

    31.4

    33.5

    35.2

    34.6

    根据上表的数据得到如下的散点图.

    （1）根据上表中的样本数据及其散点图：

    （i）求；

    （i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.

    （2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.

    附：参考数据：img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2019/08/18/08/786210e5/SYS201908180802150104289801_ST/SYS201908180802150104289801_ST.007.png" width="51" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，，，，，，

    参考公式：相关系数

    回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，椭圆：过点，，为椭圆的左、右焦点，离心率为，圆的直径为.

    （1）求椭圆及圆的方程；

    （2）设直线与圆相切于第一象限内的点.

    ①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；

    ②若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求直线的方程.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请销售仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：

    维修次数

    5

    6

    7

    8

    9

    频数（台）

    50

    100

    150

    100

    100

    记表示一台仪器使用期内维修的次数，表示一台仪器使用期内维修所需要的费用，表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.

    （1）若，求与的函数关系式；

    （2）以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求的概率.

    （3）假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断购买7次还是8次维修服务？

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    【题目】已知点是曲线：上的动点，延长（是坐标原点）到，使得，点的轨迹为曲线．

    （1）求曲线的方程；

    （2）若点，分别是曲线的左、右焦点，求的取值范围；

    （3）过点且不垂直轴的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．

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    【题目】如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，M为线段中点，.

    (1)求证：；

    (2)求直线与平面所成角的正弦值；

    (3)线段上是否存在点N，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知过点的直线与椭圆：交于不同的两点，其中，为坐标原点．

    （1）若，求的面积；

    （2）在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率互为相反数？

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