Question

附加题：已知函数，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
（III）是否存在实数m使方程3f²（x）-f（x）+m=0在内仅有一解，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=
==．（2分） 根据题意，，即T=π，所以，即ω=1．（4分）
从而，故．（6分）
（Ⅱ）因为，k＞0，（8分）
则当时，．（9分）
据题意，，所以，解得．
故实数k的取值范围是．（12分）
（III）∵，∴0＜f（x）≤1，设f（x）=t，
问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根．（14分）
又∵，（16分）
所以直线y=m与二次函数y=-3t²+t，t∈（0，1]的图象有唯一公共点，由图象可知，；（19分）
所以实数m的取值范围为．（20分）

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由此根据它的周期求出ω的值，即可求得的值．
（Ⅱ）因为，k＞0，则当时，，根据题意得，故，有此解得实数k的取值范围．
（III）问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根，即直线y=m与二次函数y=-3t²+t，t∈（0，1]的图象有唯一公共点，由图象可得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征性质的应用，二次函数的性质，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，属于中档题．