Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．

（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得， 则，结合三角函数的性质计算可得．

解法二： （1）同解法一

（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知， 则

解法三： （1）同解法一

（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆． 的普通方程为， 由弦长公式可得，则是等边三角形，， .

详解：解法一：（1）由得的普通方程为，

又因为， 所以的极坐标方程为．

由得，即，

所以的直角坐标方程为．

（2）设的极坐标分别为，则

由消去得，

化为，即，

因为，即，所以，或，

即或所以．

解法二： （1）同解法一

（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．

将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，

整理得，，解得或．

设对应的参数分别为 ，则．所以，

又因为是圆上的点，所以

解法三： （1）同解法一

（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．

又由①得的普通方程为，

则点到直线的距离为，

所以，所以是等边三角形，所以，

又因为是圆上的点，所以 .