Question

如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕，正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B′；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式

EM

=

EB

+

EB′

．
（1）如图，建立以AB中点为原点的直角坐标系，求点M的轨迹方程；
（2）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，
F是AB边上的一点，

BA

BF

=4，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且

PF

=λ

FQ

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用消参法求点M的轨迹方程，再所建的直角坐标系中，设M点坐标为（x，y），B′点坐标为（t，1），根据

EM

=

EB

+

EB′

，把M点坐标用含参数t的式子表示，再消去参数t，就可得到点M的轨迹方程．
（2）先根据点M的轨迹求其关于边AB对称的曲线方程，可得到曲线C的方程，，再由

BA

BF

=4，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且

PF

=λ

FQ

，把λ用直线PQ的斜率k表示，再根据k的范围求λ的范围即可．

解答：解：（1）以B为原点，BA所在直线为y轴，BC所在直线为x轴，
建立直角坐标系如图所示：
设B′（t，1），E（0，m），B（0，-1），
其中0≤t≤2，-1≤m≤1．
∴

EM

=

EB

+

EB′

，且|

EB′

|=|

EB

|，∴BEB′M是菱形，设M（x，y），
则

EM

=（x，y-m），

BB′

=（t，2），且

EM

⊥

BB′

，即

EM

•

BB′

=0
由

EM

•

BB′

=0⇒tx+2（y-m）=0
由

EM

=

EB

+

EB′

⇒

x=t y=-m

   消去参数t，m，得y=-

1

4

x²（0≤x≤2）
（2）依题意知曲线C的方程为：x²=-4y  （-2≤x≤2），
如图设直线PQ的方程为y=kx-

1

2

  （-

1

4

≤k≤

1

4

）．
代入曲线C的方程并整理，得x²+4kx-2=0．（-2≤x≤2），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

△＞0 x1+x2=-4k x1x2

（*）
又∵

PF

=λ

FQ

，，∴（-x₁，-

1

2

-y1）=λ（x₂，y2-

1

2

），
从而得x₁=-λx₂．
代入（*）得

(1-λ)x2=-4k① -λx22=-2    ②

1两边平方除以②式，得

(1-λ)2

-λ

=

(-4k)2

-2

，
即

(1-λ)2

λ

=8k2，∵0≤k²≤(

1

4

)2，∴

(1-λ)2

λ

≤

1

2

．
即2λ²-5λ+2≤0，∴

1

2

≤λ≤2．∴实数λ的取值范围为[

1

2

，2]．

点评：本题考查了消参法求轨迹方程，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断．