Question

如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C的中点．
（1）求证：EP∥平面A′FB．
（2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证EP∥平面A′FB关键在平面A′FB内找一直线与EP平行，由E、P分别为AC、A′C的中点，可得EP平行与
面A′FB内一直线A′A．
（2）欲证平面A′EC⊥平面A′BC，即证BC⊥平面A′EC，根据面面垂直的判定定理可知一平面经过另一平面的垂线，
则这两个面垂直．
解答：证明：（1）：（1）∵E、P分别为AC、A′C的中点，
∴EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，而EP?平面AA′B，
∴故有 EP∥平面A′FB．
（2）∵E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，
∴EF∥BC．
∵BC⊥AC，EF⊥AE，故EF⊥A′E，∴BC⊥A′E．
而A′E与AC相交，∴BC⊥平面A′EC．
又BC?平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′EC．
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，证明直线和平面平行的方法，正明平面和平面垂直的方法，
考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．