Question

有一个项数为10的实数等比数列{a_n}，S_n（n≤10）表示该数列的前n项和．当2≤n≤10时，若S_k，S₁₀，S₇成等差数列，求证a_k-1，a₉，a₆也成等差数列．

Answer 1

分析：本题考查等差数列及其证明，题意清晰、思路明确，设出等比数列{a_n}的公比为q，根据当2≤n≤10时，S_k，S₁₀，S₇成等差数列可以将其用首项a₁及公比q表示，同样用首项a₁及公比q分别表示a_k-1，a₉，a₆，然后通过a₁及q的联系证明之．

解答：解：由题意，当q=1时，20a₁=ka₁+7a₁，∴k=13＞10，
此时s_k，s₁₀，s₇不成等差数列；
当q≠1时，s_k=

a1(1-qk)

1-q

，s₁₀=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

；
由2s₁₀=s_k+s₇得：2q¹⁰=q^k+q⁷，
即：2q⁸=q^k-2+q⁵，
∴2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵，
从而得：2a₉=a_k-1+a₆，
∴a_k-1，a₉，a₆也成差数列．

点评：本题的证明抓住了已知的“S_k，S₁₀，S₇成等差数列”和所证明的“a_k-1，a₉，a₆也成等差数列”的关键纽带首项a₁和q，使证明显得自然流畅，大有水到渠成之感，需要注意的是运算中化简整理非常重要，这是去除表象，找到本质的一个过程．