Question

平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H．CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证EFGH为矩形；
（2）点E在什么位置，S_EFGH最大？

Answer 1

分析：（1）根据线面平行的性质，得AB∥GH且AB∥EF，所以GH∥EF，同理可得EH∥FG，因此得到四边形EFGH是平行四边形．再根据CD⊥AB和AB∥EF、EH∥CD，得EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．
（2）AG=x，AC=m，根据平行线分线段成比例定理，得GF=

b

m

（m-x），GH=

a

m

x，从而得到S_EFGH=

ab

m 2

（mx-x²），结合二次函数的图象与性质，得当x=

m

2

时，S_EFGH的最大值为

ab

4

．

解答：解：（1）∵AB∥平面EFGH，AB?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=GH，
∴AB∥GH，同理可得AB∥EF，
∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AB⊥CD，EH∥CD，∴AB⊥EH
又∵AB∥EF，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）AG=x，AC=m，则

GH

a

=

x

m

，得GH=

a

m

x

GF

b

=

m-x

m

，GF=

b

m

（m-x）
S_EFGH=GH•GF=

a

m

x•

b

m

（m-x）
=

ab

m 2

（mx-x²）=

ab

m 2

（-x²+mx-

m2

4

+

m2

4

）
=

ab

m 2

[-（x-

m

2

）²+

m2

4

]
当x=

m

2

时，S_EFGH最大=

ab

m 2

•

m2

4

=

ab

4

．

点评：本题给出平行于四面体相对棱的截面，判定截面的形状并且求截面面积的最大值，着重考查了线面平行性质定理、平行线分线段成比例定理和二次函数的最值等知识，属于基础题．