Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；
（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证PB∥平面EFH，须证PB平行平面EFH内的一条直线即可．
（Ⅱ）要证PD⊥平面AHF，须证PD垂直面内两条相交直线即可．
（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．必须找出二面角的平面角，求解即可．

解答：解法一：
（Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴EH∥PB．
又∵EH?平面EFH，PB∉平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）解：∵F为PD的中点，且PA=AD，∴PD⊥AF，
又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA．
又∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD．
又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵E，F分别是线段PA，PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB．
∵EH?平面PAB，EA?平面PAB，∴EF⊥EH，∴EF⊥EA，
∴∠HEA就是二面角H-EF-A的平面角．
在Rt△HAE中，AE=

1

2

PA=1，AH=

1

2

AB=1，∴∠AEH=45°，
所以二面角H-EF-A的大小为45°．

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0）．
（Ⅰ）证明：∵

PB

=(2，0，-2)，

EH

=(1，0，-1)，
∴

PB

=2

EH

，
∵PB∉平面EFH，且EH?平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）解：

PD

=(0，2，-2)，

AH

=(1，0，0)，

AF

=(0，1，1)，

PD

•

AF

=0×0+2×1+(-2)×1=0，

PD

•

AH

=0×1+2×0+(-2)×0=0．
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
又∵AF∩AH=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）设平面HEF的法向量为

n

=(x，y，z)，
因为

EF

=(0，1，0)，

EH

=(1，0，-1)，
则

n • EF =y=0 n • EH =x-z=0

取

n

=(1，0，1)．
又因为平面AEF的法向量为

m

=(1，0，0)，
所以cos＜

m，

 

n

 ＞=

m • n

| m || n |

=

1+0+0

2 ×1

=

1

2

=

2

2

，
∴＜

m，

 

n

 ＞=45°，
所以二面角H-EF-A的大小为45°．

点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中档题．