Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2

3

．过P（0，-2）的直线l与双曲线C交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）当

PM

=2

PN

时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t=

OM

•

ON

（O为坐标原点），求t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据双曲线的焦点F到渐近线的距离是2

3

，得

bc

a2+b2

=2

3

，根据双曲线C的离心率

c

a

=2，再结合双曲线中a，b，c的关系，解出a，b，就求出双曲线C的方程．
（II）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设出直线l的方程，与双曲线方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根据

PM

=2

PN

得到一个关于k的等式，解出k，即可求出直线l的方程．
（III）利用向量的数量积公式得出t关于k的函数表达式，最后利用函数的值域求出t的取值范围．

解答：解：（I）由对称性，不妨设一渐近线为y=

b

a

x，右焦点为F（c，0），
则

bc

a2+b2

=2

3

，又

c

a

=2，c²=a²+b²，
解得a²=4，b²=12，所以双曲线C的方程是

x

4

-

y2

12

=1；
（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx-2，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

PM

=2

PN

，得x₁=2x₂．
由

y=kx-2 x 4 - y2 12 =1

得：（3-k²）x²+4kx-16=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，
∴

x1+x2= 4k k2-3 =3x2 x1x2= 16 k2-3 =2 x 2 2

，消去x₂，解得k=±

3 21

7

∴直线l的方程为y=±

3 21

7

x-2．
（Ⅲ）t=

OM

•

ON

=x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4
=

8k2+16

k2-3

+4=12+

40

k2-3

．（10分）
∵0≤k²＜4且k²≠3，得 t＞52或 t≤-

4

3

．（12分）

点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及根据直线与双曲线位置求直线方程，属于圆锥曲线的常规题．