Question

如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式；
（3）如果一天24小时内的温度均近似符合该函数关系式，求一天中温度不小于25℃的时间有多长？

Answer 1

分析：（1）依题意，由图可知这段时间的最大温差为30°-10°=20°；
（2）由图得A=10，

1

2

T=8，从而可求得ω，又该曲线过点P（10，20），可求得φ，于是可得这段曲线的函数解析式；
（3）由10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20≥25⇒16k-

14

3

≤x≤

2

3

+16k（k∈Z），又6≤x≤14⇒

34

3

≤x≤14，于是可得答案．

解答：解：（1）由图知，这段时间的最大温差为30°-10°=20°；
（2）∵b=

30+10

2

=20，A=

30-10

2

=10，又

1

2

T=14-6=8，
∴T=16=

2π

ω

，
∴ω=

π

8

，
∴这段曲线的函数解析式为y=10sin（

π

8

x+φ）+20，
又该曲线过点P（10，20），
∴

π

8

×10+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ-

5π

4

（k∈Z），不妨令k=1，得φ=

3π

4

，
∴这段曲线的函数解析式为y=10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20（6≤x≤14）；
（3）由10sin（

π

8

x+

3π

4

）+20≥25得：sin（

π

8

x+

3π

4

）≥

1

2

，
∴

π

6

+2kπ≤

π

8

x+

3π

4

≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
∴16k-

14

3

≤x≤

2

3

+16k（k∈Z），又6≤x≤14，
∴16-

14

3

≤x≤14，即

34

3

≤x≤14．
∴一天中温度不小于25℃的时间有14-

34

3

=

8

3

小时．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查实际应用问题，求得这段曲线的函数解析式是关键，也是难点，属于难题．