Question

如图，四棱锥的底面为菱形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB与PD的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求证：AF∥平面PEC．

Answer 1

分析：（1）连接AC，根据底面ABCD为菱形，则AC⊥BD，而PA⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质可知PA⊥BD，再根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面PAC，PC?平面PAC，根据线面垂直的性质可知PC⊥BD．
（2）欲证AF∥平面PEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PEC内一直线平行即可，取PC的中点K，连接FK、EK．
则FK∥CD，FK=

1

2

CD，又AE∥CD，AE=

1

2

CD，得到四边形AEKF是平行四边形，从而AF∥EK，又EK?平面PEC，AF?平面PEC满足定理所需条件．

解答：证明：（1）连接AC，因底面ABCD为菱形，故AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．（4分）
又AC⊥BD，故BD⊥面PAC．∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．（6分）
（2）取PC的中点K，连接FK、EK．
则FK∥CD，FK=

1

2

CD．（8分）
又AE∥CD，AE=

1

2

CD，（10分）
则四边形AEKF是平行四边形，∴AF∥EK．（12分）
又EK?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力、推理能力，以及转化与划归的数学思想，属于基础题．