Question

（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）二面角为.

【解析】解法一：

（Ⅰ）∵ ，

∴ .

        在RT中，AB=AC，D为BC中点，

        ∴ BC⊥AD，又

        ∴ ，

        ∴ .

（Ⅱ）如图，作AE⊥交于E点，连接BE，

    由已知得AB⊥平面，

    ∴ AE是BE在平面内的射影，

    由三垂线定理知,

    ∴ ∠AEB是二面角的平面角.

    过，

    则  CF=AC-AF=1，

    ∴ .

    在RT

    在RT

    ∴ ，即二面角为.

解法二：

（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C(0,2,0)

, ∵ D为BC的中点，∴ D点坐标为（1，1，0）.

∴

∵

∴ BC⊥AD，

∴ ,

∴

（Ⅱ）∵ BA⊥平面,

    如图，可取为平面的法向量,

    设平面的法向量为

    如图，可取m=1，则

   

    ∴ 二面角