Question

在平面直角坐标系中，已知圆 的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,是否存在常数，使得直线OD与PQ平行？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先设出直线的方程，由直线与圆有两个不同的交战，故联立圆方程可得得一元二次方程，由判别式大于0可得K的取值范围为；（Ⅱ）没有符合题意的常数,理由见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）由向量加减法，可利用向量处理，设，则，由与共线等价于，然后由根与系数关系可得，由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数.注意运用向量法和方程的思想.

试题解析：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，

过且斜率为的直线方程为．

代入圆方程得，整理得．　　　①

直线与圆交于两个不同的点等价于，

解得，即的取值范围为．

（Ⅱ）设，则，

由方程①，　　　　②

又．　　③

而．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得 

由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．

考点：1.直线与圆的位置关系；2.一元二次方程的根的判别式；3.向量共线的充要条件.