Question

已知二次函数y=f₁(x)的图象以原点为顶点且过（1，1）点，反比例函数y=f₂(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f(x)=f₁(x)+f₂(x)

（1）求函数f(x)的表达式；

（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解；

Answer 1

解：（1）由已知，设f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1得a=1，∴f₁(x)=x²,设f₂(x)=(k＞0)，它的图象与直线y=x的交点分别为A(,),B(-,-)，

    由|AB|=8得k=8,∴f₂(x)=.

    故f(x)=x²+.

（2）由f(x)=f(a)得x²+=a²+,

    而(x-a)(x+a-)=0,方程一个解为x₁=a,方程x+a-=0化为

ax²+a²x-8=0,由a＞3知Δ＞0

∴x₂=,

x₃=.

∵x₂＜0,x₃＞0,x₁≠x₂,且x₂≠x₃,

x₁=x₃时可得a⁴=4a.

∴a=0或a=.

    这与a＞3矛盾，∴x₁≠x₃.

    故原方程有三个实数解.