Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，在平面上的射影为，且在上，且， ，是的中点，四面体的体积为．

(Ⅰ)求异面直线与所成的角余弦值；

(Ⅱ)求点到平面的距离；

(Ⅲ)若点是棱上一点，且，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)先利用等体积法求出的长，在平面内， 过点作交于，连接，则(或其补角)就是异面直线与所成的角，在中利用余弦定理求出此角即可；(Ⅱ)在平面内，过作，交延长线于，则平面推得的长就是点到平面的距离，在利用边角关系求出长； (Ⅲ)在平面内，过作，为垂足，连接，先证明，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．

(I)由已知，

∴．

在平面内，过点作交于，连接，则(或其补角)就是异面直线与所成的角.

在中，，

由余弦定理得， ，

∴异面直线与所成的角的余弦值为．

(II)∵平面，平面∴平面平面，

在平面内，过作，交延长线于，则平面∴的长就是点到平面的距离．

∵．

在，，∴点到平面的距离为．

(III)在平面内，过作，为垂足，连接，

又因为，

∴平面，平面,∴．

由平面平面，∴平面∴；

由得： ．

∵，∴由可得．