Question

12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（A）    （B）2+  

 （C）    （D）

Answer 1

C

解析：当4个钢球彼此相切、且与正四面体的容器的各面均相切时，正四面体的高取最小值.

底面球心R₁在底面上的投影为R₁′，过R₁′作GE∥CD交BC、BO于点E、G.在AB上截取BF=BE=BG.得小正四面体B—EFG.R₁′是G上的中点，R₁B垂直底面EFG，R₁′H=BR₁′，

在Rt△BHR₁′中，R₁′H=BH.==，

∴BR₁′=2R₁′R=2.

在底面BCD中，球心R₁R₂R₃投影如上图，据正四面体及球心对称性知∠MBR₁′=30°，

BM=BR₁′=·2=.

大正四面体的边长为2+2.

斜高h′=BC=3+，

高h==h′=4+ .