Question

在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）（理）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的最小值的集合．
（文）当点Q在（Ⅰ）中的曲线上运动时，求|PQ|的最大值的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2c=AB，由余弦定理可得及基本不等式PB．PA，可求，从而可求a，及C点的轨迹方程
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简，显然有△≥0，由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=（5-）（5-）及方程的根与系数的关系|BM|•|BN|取最小值，结合椭圆的得性质判断M，N是否存在，使得|BM|•|BN|的最小值
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），则|PQ|²=x²+（y-4）²=25-+（y-4）²
=-，由-4≤y≤4且y≠0，结合二次函数的性质可求
解答：解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a（a＞0）为定值，所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴焦距2c=AB=6        （1分）
∵（2分）
又∵PB．PA，，此时p（0，±4），由题意得
∴a²=25∴C点的轨迹方程为（3分）
（注：y≠0没写扣（1分）：文科（Ⅰ）分别为2，3，（3分），共8分）
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），
当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简得，显然有△≥0
∴x₁+x₂=-，x₁．x₂=
而由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=（5-）（5-）=25-3（x₁+x₂） …（2分）
=25+
只考虑的最小值，即考虑1-的最小值，易知当k=0时，1-的最小值
此时|BM|•|BN|取最小值16（2分）
当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3得|BM|•|BN|=（）²＞16；（1分）
但，故这样的M，N不存在，即|BM|•|BN|的最小值集合为空集（1分）
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），
则|PQ|²=x²+（y-4）²=25-+（y-4）²=-，
∵-4≤y≤4且y≠0，
∴当y=-4时，|PQ|取到最大值8 集合为{8} （6分）
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程，利用函数的性质求解函数的最值问题，要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力