Question

（2009•普陀区一模）某隧道长6000米，最高限速为v₀（米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比，比例系数为k（k＞0），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t（秒）．
（1）求函数t=f（v）的解析式，并写出定义域；
（2）求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小．

Answer 1

分析：（1）先根据相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比建立关系式，然后求出自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间t的解析式；
（2）先化简解析式，然后讨论v₀与

680 k

的大小，当v0≥

680 k

时利用基本不等式求出最小值，当v0＜

680 k

时利用函数在（0，v₀]上的单调性求出函数的最小值，最后求出相应的速度．

解答：解：（1）依题意得，车队通过隧道的时间t关于车队行进速度v的函数解析式为：t=f(v)=

6000+120+9kv2

v

=

6120+9kv2

v

，其中，定义域为v∈（0，v₀]；
（2）t=f(v)=

6120+9kv2

v

=9kv+

6120

v

=9•(kv+

680

v

)，v∈（0，v₀]；
令kv=

680

v

⇒v=

680 k

，于是：
①当v0≥

680 k

时，t=f(v)≥9•2

680k

=36

170k

；当且仅当v=

680 k

时，t取得最小值；
②当v0＜

680 k

时，可知在（0，v₀]上函数t=f（v）单调递减，则当v=v₀时，车队经过隧道的时间t的最小值为tmin=f(v0)=

6120+9k v 2 0

v0

；
综上，若v0≥

680 k

，则当车速为v=

680 k

（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值tmin=32

170k

（秒）；若v0＜

680 k

，则当车速为v=v₀（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值tmin=

6120+9k v 2 0

v0

（秒）．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，同时考查了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，属于中档题．