Question

【题目】已知椭圆的离心率为，直线，圆的方程为，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等，椭圆的左顶点为，上顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知经过点且斜率为直线与椭圆有两个不同的交点和，请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；详见解析

【解析】

（1）求得圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所得弦长公式列方程，解方程求得的值，结合椭圆离心率以及，求得的值，进而求得椭圆离心率.

（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根于系数关系以及判别式，利用与共线以及向量共线的坐标表示列方程，由此判断出不存在符合题意的常数.

（1）圆心到直线的距离为，

直线被圆截得的弦长，.

由椭圆离心率为，结合可得，.即椭圆的方程为：.

（2）设直线的方程为，

代入椭圆方程，整理，得，①

因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，

解得.

设，，则，

由①得，②

又，③

因为，所以.

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得，（舍）.

因为不满足，

所以不存在常数，使得向量与共线.