【答案】
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a
n}是以1为首项，
为公比的等比数列；
（Ⅱ）确定数列{
}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{
}的通项公式；
（III）确定数列{c
n}为：1，-1，
，2，2，
，-3，-3，-3，
，…，再分组求和，即可求得数列{c
n}的前50项之和．
解答：（Ⅰ）证明：由题设知（t-1）S
1=2ta
1-t-1，解得a
1=1，
由（t-1）S
n=2ta
n-t-1，得（t-1）S
n+1=2ta
n+1-t-1，
两式相减得（t-1）a
n+1=2ta
n+1-2ta
n，
∴
（常数）．
∴数列{a
n}是以1为首项，
为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵q=f （t）=
，b
1=a
1=1，b
n+1=
f （b
n）=
，
∴
=
+1，
∴数列{
}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴
．…（8分）
（III）解：当t=
时，由（I）知a
n=
，于是数列{c
n}为：1，-1，
，2，2，
，-3，-3，-3，
，…
设数列{a
n}的第k项是数列{c
n}的第m
k项，即a
k=
，
当k≥2时，m
k=k+[1+2+3+…+（k-1）]=
，
∴m
9=
-45．
设S
n表示数列{c
n}的前n项和，则S
45=[1+
+
+…+
]+[-1+（-1）
2×2×2+（-1）
3×3×3+…+（-1）
8×8×8]．
∵1+
+
+…+
=
=2-
，
-1+（-1）
2×2×2+（-1）
3×3×3+…+（-1）
8×8×8=-1+2
2-3
2+4
2-5
2+6
2-7
2+8
2=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S
45=2-
+36=38-
．
∴S
50=S
45+（c
46+c
47+c
48+c
49+c
50）=38-
+5×（-1）
9×9=-7
．
即数列{c
n}的前50项之和为-7
．…（12分）
点评：本题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．
f（bn），求数列{
}的通项公式；
，对（II）中的数列{an}，在数列{an}的任意相邻两项ak与ak+1之间插入k个
（k∈N*）后，得到一个新的数列：a1，
，a2，
，
，a3，
，
，
，a4…，记此数列为{cn}．求数列{cn}的前50项之和．
