Question

如图，直角三角形PAQ的顶点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，∠PAQ＝90°.在AQ的延长线上取点M，使 .
　　（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C；
　　（2）设轨迹C的准线为l，焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G、H两点，过点G作平行轨迹C的对称轴的直线n且n∩l＝E.试问：点E、O、H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？说理由.

 

Answer 1

　解析：　（1）设M(x,y)，且过点M作MN⊥OY于N　则
　　∴ 　∴点A坐标为 由题设得PA⊥AM　 　 　化简得①　　注意到当x＝0时，点M与点N重合，点Q与原点重合，这与已知条件不符
　　因此，动点M的轨迹方程为 ，　其轨迹是顶点在原点，焦点为F(1,0)的抛物线（不含顶点）.
　　(2)由（1）知，轨迹C的焦点F(1,0)，准线l：x＝－1
　　（）当直线m不与x轴垂直时，　　设直线m的方程为y＝k(x-1)（k≠0）①　　
　　将①与 联立，消去x得 　　∴由韦达定理得  ②
　　又直线n的方程为 　∴ 　∴
　　∴ 　∴点E、O、H三点共线
　　（）当直线m⊥ox时，直线m的方程为x＝1，此时易证点E、O、H三点共线.于是，由（）（）知，题设条件下的点E、O、H一定在同一条直线上.