Question

已知椭圆=1(a＞b＞0)，其右准线l与x轴交于点A，椭圆的上顶点为B，过它的右焦点F且垂直于长轴的直线交椭圆于点P，直线AB恰经过线段FP的中点D．

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别是A₁、A₂，且=-3，求椭圆方程；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设Q是椭圆右准线l上异于A的任意一点，直线QA₁、QA₂与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点．

 

Answer 1

解：(1)∵椭圆方程为=1，(a＞b＞0，c＞0，c²=a²-b²)

∴A(，0)，F(c，0)，9(0，b)，P(c,)，

FP的中点D的坐标为(c, )

直线AB的方程为：=1

∵D在直线AB上

∴c·=1

化简得3a²=4c²  ∴e=

(Ⅱ)A₁(-a，0)，A₂(a，0)，B(0，b)=(-a，-b)，=(a，-b)

·=-3∴a²-b²=3

由(Ⅰ)得：a=2b

∴a=2,b=1，c=

∴椭圆方程为：+y²=1

(Ⅲ)设直线QA₁和QA₂斜率分别为k₁，k₂，则

由

(1+4)x²+16x+16-4=0

解得x_M=,y_M=

由

(1+4)x²-16x+16-4=0

解得x_N=,y_N=

直线MN的方程为，令y=0

得x=化简得x=2×

∵y_Q=k₁(+2)=k₂(-2)

∴=7-4

∴

∴x=2×=

即直线MN与x轴交于定点(，0)．