Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线于点，线段的中垂线交于点.记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；

（2）若直线与曲线交于两点、，则在圆上是否存在两点、，使得，？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；是以为焦点，为准线的抛物线（2）存在；

【解析】

（1）根据题意可得，再根据抛物线的定义即可求出曲线的方程.

（2）将直线与曲线：联立，由直线与曲线交于点，，，利用韦达定理可得，从而求出的中垂线方程，由，，可得的中垂线与圆交于两点、，利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离小于半径即可求解.

（1）由题意，得，则动点的轨迹是以为焦点，

为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为.

（2）由得.

由直线与曲线交于点，，

得，解得.

由韦达定理，得.

设的中点为，

则，，

即，

所以的中垂线方程为，即，

由，，得的中垂线与圆交于两点、，

所以，解得.

由①和②，得.

综上，当时，圆上存在两点、，使得，.