Question

我们把一系列向量

ai

(i=1，2，…，n)按次序排成一列，称之为向量列，记作{

an

}．已知向量列{

an

}满足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)，．
（1）证明数列{

|an

|}是等比数列；
（2）设θ_n表示向量

an-1

，

an

间的夹角，求证cosθ_n是定值；
（3）若b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

bnSn2的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的坐标公式求出

|an

|的模，得到

|an

|与

|an-1

|的关系，利用等比数列的定义得证．
（2）利用向量的坐标形式的数量积公式求出

an-1

，

an

的数量积，利用向量的模、夹角形式的数量积公式求出夹角的余弦．
（3）利用（2）求出夹角，代入b_n=2nθ_n-1，利用等差数列的前n项和公式求出S_n，求出极限值．

解答：解：（1）∵|

a

n|=

1

2

(xn-1-yn-1)2-(xn-1+yn-1)2

=

2

2

x n-1 2 + y n-1 2

=

2

2

|

an-1

|，
∴数列{|

ai

|}是等比数列
（2）∵cosθn=

an-1 ? an

| an-1 |?| an |

=

(xn-1，yn-1)? 1 2 (xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)

2 2 | an-1 |2

=

1 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

2 2 ( x 2 n-1 + y 2 n-1 )

=

2

2

（3）∵θn=

π

4

，
∴bn=

nπ

2

-1，
∴

b

2 n

=

(nπ)2-4nπ+4

4

∴Sn=(

1

2

π-1)+(

2

2

π-1)++(

n

2

π-1)=

π

4

(n2+n)-n
∴

lim

n→∞

b 2 n

Sn

=π

点评：解决向量的夹角问题一般利用向量的数量积公式求出夹角余弦，再利用夹角范围求出夹角；求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，据通项的特点选择求和方法．