提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当
时，车流速度
是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；
（Ⅱ）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．
（Ⅰ）
；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
解析试题分析：(1)分析可知当
时，车流速度为常数所以此时
。当时为一次函数，则可设其方程为
。再根据已知
和
列出方程组求
.（2）现根据的解析式求出
的解析式，所以也是分段函数，需分情况讨论当时
，此时在
上是增函数，所以
时最大，当时
利用基本不等式（或配方法）求最值。最后比较这两个最大值的大小取其中最大的一个
试题解析：（1）由题意：当
；当
再由已知得
故函数的表达式为
（2）依题意并由（1）可得
当
为增函数，故当
时，其最大值为60×20=1200；
当
时，
当且仅当
，即
时，等号成立。
所以，当
在区间[20，200]上取得最大值
.
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
考点：（1）函数解析式的求法（2）最值问题
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
（
为常数），函数
定义为：对每一个给定的实数
，
（1）求证：当
满足条件
时，对于
,
；
（2）设
是两个实数，满足
，且
，若
，求函数在区间
上的单调递增区间的长度之和.（闭区间
的长度定义为
）
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：
且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.
(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径
毫米,滴管内液体忽略不计.
（1）如果瓶内的药液恰好
分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件(1)下,设输液开始后
（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为
（单位：厘米），已知当
时，
.试将表示为的函数.（注:
）
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
(14分)已知函数
．
(Ⅰ)求函数
的最小值；
(Ⅱ)求证：
；
(Ⅲ)对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数与的“分界线”.设函数
，
，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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，
，
的解析式，并求它的单调递增区间；
有四个不相等的实数根，求
的取值范围。
对一切
恒成立，试确定实数
的取值范围．
为实数，函数
.
，求
的最小值.