Question

设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量

a

=(m，n)，

b

=(1，-3)．
（Ⅰ）求使得事件“

a

⊥

b

”发生的概率；
（Ⅱ）求使得事件“|

a

|≤|

b

|”发生的概率；
（Ⅲ）使得事件“直线y=

m

n

x与圆（x-3）²+y²=1相交”发生的概率．

Answer 1

分析：（I）利用乘法计数原理求出所有可能的取法，利用向量垂直的充要条件得到m-3n=0，通过列举法得到得事件“

a

⊥

b

”发生基本事件个数，利用古典概型的概率求出求出值．
（II）利用向量模的公式将事件|

a

|≤|

b

|”转化为m²+n²≤10，通过列举法得到该事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率求出求出值．
（III）由直线与圆的位置关系将事件“直线y=

m

n

x与圆（x-3）²+y²=1相交”转化为

m

n

＜

2

4

，通过列举法得到该事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率求出求出值．

解答：解：（I）由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}；n∈{1，2，3，4，5，6}，
故（m，n）所有可能的取法共6×6=36种（2分）
使得

a

⊥

b

，即m-3n=0，
即m=3n，共有2种（3，1）、（6，2），
所以求使得

a

⊥

b

的概率P=

2

36

=

1

18

（4分）
（Ⅱ）|

a

|≤|

b

|即m²+n²≤10，
共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种
使得|

a

|≤|

b

|的概率P=

6

36

=

1

6

（8分）
（Ⅲ）由直线与圆的位置关系得，d=

|3m|

m2+n2

＜1，
即

m

n

＜

2

4

，
共有

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

，

2

6

，5种，
所以直线y=

m

n

x与圆（x-3）²+y²=1相交的概率P=

5

36

（12分）

点评：求事件的概率，应该先判断出事件所属的概率模型，然后选择合适的概率公式，关键是求出基本事件的个数，常用的方法有：列举法、列表法、排列组合法、列树状图的方法．