设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且,并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

解析：（1）因为,,, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以, 即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即, 且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

要使, 需使,即,

所以, 即且, 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知, 即 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B₁,

由（2）知得, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

即有唯一解

则△=, 即, ②

由①②得, 此时A,B重合为B₁(x₁,y₁)点, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

由中,所以,,

B₁(x₁,y₁)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A₁B₁|取得最大值,最大值为1.

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