Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E为BB₁中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）求DE与平面AD₁E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD₁E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用线面垂直的判定定理，证明AC⊥平面BB₁D₁D，即可得到AC⊥D₁E；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面AD₁E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD₁E所成角的正弦值；
（Ⅲ）利用BP∥平面AD₁E，可得

BP

⊥

n

，利用向量的数量积公式，可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：连接BD
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴D₁D⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴D₁D⊥AC…1分
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分
又BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面BB₁D₁D，…3分
而D₁E?平面BB₁D₁D，∴AC⊥D₁E…4分
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D₁（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴

AE

=(0，1，1)，

AD1

=(-1，0，2)，

DE

=(1，1，1)…5分
设平面AD₁E的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • AD1 =0 n • AE =0

，即

-x+2z=0 y+z=0

令z=1，则

n

=(2，-1，1)…7分     
∴cos＜

n

，

DE

＞=

n • DE

| n |•| DE |

=

2-1+1

3 × 6

=

2

3

…8分
∴DE与平面AD₁E所成角的正弦值为

2

3

…9分
（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD₁E．
设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则

BP

=(t-1，-1，0)
∵BP∥平面AD₁E
∴

BP

⊥

n

，即

BP

•

n

=0，
∴2（t-1）+1=0，解得t=

1

2

，…12分
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD₁E，此时DP的长

1

2

．…13分．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查线面平行，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．