Question

 (Ⅰ)试比较的大小；

     (Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.

Answer 1

解：(Ⅰ)由于，，则；

            又，，则；

            所以. …………………………………………6分

(Ⅱ)当n=1,2时，有nn+1<(n+1)n.………………………………………8分

    当n≥3时，有nn+!>(n+1)n. 证明如下：

    令，.

    又.

    ∴an+1>an即数列{an}是一个单调递增数列.

    则an>an-1>…>a3>1

    ∴即nn+1>(n+1)n. ……………………………………16分

另证：构造函数f(x)=(x≥3)，f(x)==，

      ∴f(x)=在[3,+∞为递减函数，则f(n)>f(n+1)，

即，，∴，

即nn+1>(n+1)n(n≥3时结论成立).