Question

（2007•浦东新区二模）已知直线l：y=-x+b与抛物线y²=4x相交于A、B两点，|AB|=8．
（1）求直线l的方程；
（2）求抛物线上横坐标为1的点D与点A、B构成的△DAB的面积；
（3）设P（x，y）是抛物线上的动点，试用x或y来讨论△PAB面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出；
（2）把x=1代入抛物线方程即可得出点D的坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出点D到直线l的距离，再利用三角形的面积计算公式即可得出；
（3）设与直线y=-x+1平行且距离为

2

的直线为y=-x+t，得t=-1或3，求出y=-x-1与 y ²=4 x的交点，y=-x+3与y ²=4 x的交点，y=-x+1与y²=4x的交点．
进而得出面积的取值范围．

解答：解：（1）把y=-x+b代入y²=4x得x²-2（b+2）x+b²=0．
令△＞0，得b＞-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

2

(x1+x2)2-4x1x2

=8，
∴

b+1

=

2

，b=1，
∴直线的方程为y=-x+1．
（2）设D （1，y₀），代入y ²=4x，得y₀=±2．
因此得到D点坐标：D （1，2 ） 或D′（1，-2）
点D（D′）到直线y=-x+1的距离d=

|1±2-1|

2

=

2

．
∴△DAB的面积为4

2

．
（3）设与直线y=-x+1平行且距离为

2

的直线为y=-x+t，得t=-1或3，
y=-x-1与 y ²=4 x的交点仅有一个为 （1，-2），
y=-x+3与y ²=4 x的交点为 （1，2），（9，-6）．
y=-x+1与y²=4x的交点为(3-2

2

，-2+2

2

)，(3+2

2

，-2-2

2

)
∴当y_P∈{-2，2，-6}时，S=4

2

．
当yP∈(-6，-2-2

2

)∪(-2-2

2

，-2)∪(-2，-2+2

2

)∪(-2+2

2

，2)时，S∈(0，4

2

)．
当y_P∈（-∞，-6）∪（2，+∞）时，S∈(4

2

，+∞)．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、分类讨论的思想方法等是解题的关键．