Question

如图，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB：AD=

2

：1，F是AB的中点．
（1）求VC与平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度数；　
（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点G，连接VG，CG．由△ADV为正三角形，知VG⊥AD．由平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，知VG⊥平面ABCD，则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．由此能求出VC与平面ABCD所成的角的大小．
（2）连接GF，则GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．而FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．在△GFC中，GC²=GF²+FC²．所以GF⊥FC．连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．由此能求出二面角V-FC-B的度数．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG=3．此时AD=BC=2

3

，FB=

6

，FC=3

2

，VF=3

2

．所以S△VFC=

1

2

VF•FC=9，S△BFC=

1

2

FB•BC=3

2

．由V_V-FCB=V_B-VCF，能求出B到面VCF的距离．

解答：解：取AD的中点G，连接VG，CG．
（1）∵△ADV为正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，
∴VG⊥平面ABCD，
则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．
设AD=a，则VG=

3

2

a，DC=

2

a．
在Rt△GDC中，GC=

DC2+GD2

=

2a2+ a2 4

=

3

2

a．
在Rt△VGC中，tan∠VCG=

VG

GC

=

3

3

．
∴∠VCG=30°．
即VC与平面ABCD成30°．
（2）连接GF，则GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．
而　FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．
∴GF⊥FC．
连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，
则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，VG=GF=

3

2

a．
∴∠VFG=45°．
故二面角V-FC-B的度数为135°．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，
即VG=3．
此时AD=BC=2

3

，FB=

6

，FC=3

2

，VF=3

2

．
∴S△VFC=

1

2

VF•FC=9，
S△BFC=

1

2

FB•BC=3

2

．
∵V_V-FCB=V_B-VCF，
∴

1

3

•VG•S△FBC=

1

3

•h•S△VFC．
∴

1

3

×3×3

2

=

1

3

•h•9．
∴h=

2

，即B到面VCF的距离为

2

．

点评：本题考查直线与平面所成的角的求法，求二面角的度数求点到平面的距离．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．