Question

购买某种汽车的费用为15万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计为1万2千元．汽车的年平均维修费如下：第一年3千元，第二年6千元，第三年9千元，依次成等差数列逐年递增，这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）？

Answer 1

分析：确定汽车每年维修费构成以0.3万元为首项，0.3万元为公差的等差数列，从而可求汽车的年平均费用，再利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：设使用x年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是0.3万元，以后逐年递增0.3万元”，可知汽车每年维修费构成以0.3万元为首项，0.3万元为公差的等差数列，因此汽车使用x年总维修费用为

x(0.3+0.3x)

2

万元，
设汽车的年平均费用为y万元，则有y=

15+1.2x+ x(0.3+0.3x) 2

x

=1.35+

15

x

+

0.3x

2

≥1.35+2

15 x • 0.3x 2

=4.35万元，当且仅当

15

x

=

0.3x

2

，即x=10或-10（舍去）时，取等号，
所以当使用10年时年平均费用y最小，即这种汽车使用10年报废最合算．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．